9A Kelompok 4 :D: Desember 2013

Kamis, 12 Desember 2013

Contoh Soal bangun Ruang sisi Lengkung

1. Sebuah tabung memiliki diameter 7 cm, tinggi 4 cm. Jika $\pi = \frac{22}{7}$ hitunglah :

a. Volume tabung

b. Luas selimut tabung

c. Luas alas tabung

d. Luas tutup tabung

e. Luas sisi tabung

Jawab : A. Volume tabung = Luas alas x Tinggi

$\begin{align*} V &= \pi r^2 \times t \\ &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \times 4 \\ &= \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times \frac{7}{\cancel{2}} \cdot \cancel{4} \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \: cm^3 \end{align*}$

B. Luas selimut tabung = Keliling alas x Tinggi

$\begin{align*} \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\ &= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 4 \\ &= \cancel{2} \times \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times 4 \\ &= 22 \times 4 \\ &= 88 \: cm^2 \end{align*}$

C. Luas alas tabung = Luas lingkaran $\begin{align*} \text{Luas alas tabung} &= \pi r^2 \\ &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \\ &= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancelto{1}{2}} \times \frac{7}{2} \\ &= 11 \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{77}{2} \\ &= 38,5 \: cm^2 \end{align*}$ n

D. Luas tutup tabung = Luas alas tabung = $38,5 \: cm^2$

E. Luas sisi tabung = Luas selimut + Luas alas + Luas tutup

$\begin{align*} \text{Luas sisi tabung} &= 88 + 38,5 + 38,5 \\ &= 165 \: cm^2 \end{align*}$

2. Sebuah tabung mempunyai diameter yang sama dengan tingginya. Jika luas selimut tabung tersebut adalah $78,5 \: cm^2$ . Jika $\pi = 3,14$ , berapakah volume tabung tersebut ?

Jawab :Karena diameter = tinggi, maka misalkan diameter = tinggi = x.

$\begin{align*} \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\ 78,5 &= \pi \times 2r \times t \\ 78,5 &= \pi \times d \times t \\ 78,5 &= \pi \cdot x \cdot x \\ 78,5 &= \pi \cdot x^2 \\ \frac{78,5}{\pi} &= x^2 \\ \frac{78,5}{3,14} &= x^2 \\ 25 &= x^2 \\ x &= 5 \end{align*}$

Jadi diameter tabung adalah 5 cm, sehingga jari-jari tabung adalah 2,5 cm. Lalu tinggi tabung juga 5 cm.

$\begin{align*} V &= \pi r^2 \times t \\ &= \pi \times (2,5)^2 \times 5 \\ &= \pi \times 6,25 \times 5 \\ &= \pi \times 31,25 \\ &= 3,14 \times 31,25 \\ &= 98,125 \end{align*}$

Jadi volume tabung tersebut adalah $98,125 \: cm^3$

3. Sebuah kerucut mempunyai diameter 10 cm dan tinggi 12 cm. Jika $\pi = 3,14$ hitunglah :

a. Volume kerucut

b. Luas selimut kerucut

c. Luas alas kerucut

d. Luas sisi kerucut

A.Volume kerucut = $\frac{1}{3}$ x Luas alas x Tinggi

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 25 \times \cancelto{4}{12} \\ &= 25 \times 4 \times \pi \\ &= 100 \pi \\ &= 100 \times 3,14 \\ &= 314 \: cm^2 \end{align*}$

B. Luas selimut kerucut = $\pi r \: s$ . Kita harus terlebih dahulu mencari s (garis pelukis) dengan rumus phytagoras.

$\begin{align*} s^2 &= r^2 + t^2 \\ s^2 &= 5^2 + 12^2 \\ s^2 &= 25 + 144 \\ s^2 &= 169 \\ s &= \sqrt{169} \\ s &= 13 \end{align*}$

Editing By : Illa Tahira A

$\begin{align*} \text{Luas selimut kerucut} &= \pi r \: s \\ &= \pi \times 5 \times 13 \\ &= 65 \pi \\ &= 65 \times 3,14 \\ &= 204,1 \: cm^2 \end{align*}$

C. Luas alas kerucut = Luas lingkaran

$\begin{align*} \text{Luas alas kerucut} &= \pi r^2 \\ &= \pi \times 5^2 \\ &= 25 \pi \\ &= 25 \times 3,14 \\ &= 78,5 \: cm^2 \end{align*}$

D. Luas sisi kerucut = Luas selimut + Luas alas

$\begin{align*} \text{Luas sisi kerucut} &= 204,1 + 78,5 \\ &= 282,6 \: cm^2 \end{align*}$

4. Sebuah kerucut terpancung seperti gambar di bawah ini. Jari-jari alas adalah 2 kali jari-jari tutup, dan tinggi kerucut besar 2 kali tinggi kerucut kecil. Jika jari-jari alas 14 cm dan tinggi bangun 21 cm, berapakah volume bangun tersebut?

Volume bangun = Volume kerucut besar – Volume kerucut kecil

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi \: r_2^2 \: t_2 - \frac{1}{3} \pi \: r_1^2 \: t_1 \\ &= \frac{1}{3} \pi \times 14^2 \times 42 - \frac{1}{3} \pi \times 7^2 \times 21 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 14^2 \times \cancelto{14}{42} - \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 7^2 \times \cancelto{7}{21} \\ &= 14^3 \pi - 7^3 \pi \\ &= (14^3 - 7^3) \pi \\ &= (2744 - 343) \pi \\ &= 2401 \pi \\ &= 2401 \times \frac{22}{7} \\ &= 7546 \: cm^3 \end{align*}$

5. Sebuah kerucut dibuat dari selembar karton berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 288 derajat dan jari-jari 10 cm. Hitunglah volume kerucut yang terbentuk ! (gunakan $\pi = 3,14$ )

Untuk kerucut yang dibuat dari juring, maka luas juring akan sama dengan luas selimut kerucut, dan jari-jari juring akan menjadi garis pelukis kerucut.

$\begin{align*} \text{Luas juring karton} &= \frac{\text{sudut}}{360^o} \times \pi \: r^2 \\ &= \frac{288}{360} \times \pi \times 10^2 \\ &= 0.8 \times 100 \pi \\ &= 80 \pi \: cm^2 \end{align*}$

Luas selimut kerucut = Luas juring karton = $80 \pi \: cm^2$ .

Garis pelukis kerucut = Jari-jari juring = 10 cm.

$\begin{align*} \text{Luas Selimut Kerucut} &= \pi \: r \: s \\ 80 \pi &= \pi \: r \: 10 \\ 80 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \: r \: 10 \\ 80 &= 10r \\ r &= 8 \: cm \end{align*}$

Berikutnya cari tinggi kerucut menggunakan rumus phytagoras

$\begin{align*} t^2 &= s^2 - r^2 \\ &= 10^2 - 8^2 \\ &= 100 - 64 \\ &= 36 \\ t &= \sqrt{36} \\ &= 6 \: cm \end{align*}$

Setelah mendapat tinggi, baru kita bisa menghitung volume kerucut.

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 6 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 8^2 \times \cancelto{2}{6} \\ &= \pi \times 64 \times 2 \\ &= 128 \pi \\ &= 401,92 \: cm^3 \end{align*}$

6. Sebuah bola basket mempunyai diameter 20 cm. Hitunglah :

a. Volume bola basket

b. Luas sisi bola basket

Jawab : A. Volume bola basket = $\frac{4}{3} \pi r^3$ , dimana jari-jari bola = 10 cm.

$\begin{align*} V &= \frac{4}{3} \times \pi \times 10^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \pi \times 1000 \\ &= \frac{4000}{3} \pi \\ &= \frac{4000}{3} \times 3,14 \\ &= 4.186,67 \: cm^3 \end{align*}$

B. Luas sisi bola basket = $4 \pi r^2$

$\begin{align*} L &= 4 \times \pi \times 10^2 \\ &= 400 \pi \\ &= 400 \times 3,14 \\ &= 1256 \: cm^2 \end{align*}$

7. Sebuah benda padat berbentuk setengah bola mempunyai diameter 10 cm. Hitunglah luas permukaan benda tersebut !

Luas permukaan benda = Luas sisi setengah bola + Luas lingkaran (Luas penutup setengah bola)

$\begin{align*} L &= \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 + \pi r^2 \\ &= 2 \pi r^2 + \pi r^2 \\ &= 3 \pi r^2 \\ &= 3 \times 3,14 \times 5^2 \\ &= 3 \times 3,14 \times 25 \\ &= 235,5 \: cm^2 \end{align*}$

8. Perhatikan gambar di bawah ini !

Sebuah tabung dengan diameter 20 cm berisi air setengah penuh. Jika sebuah bola berdiameter 6 cm dimasukkan ke dalam tabung tersebut, berapakah tinggi air yang naik?

Cari dulu volume bola.

$\begin{align*} V_{bola} &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 \\ &= 4 \times \pi \times 3^2 \\ &= 36 \pi \: cm^3 \end{align*}$

Volume air yang naik adalah sama dengan volume bola. Cari tinggi air yang naik dengan menggunakan volume air yang naik pada tabung.

$\begin{align*} V_{air} &= \pi r^2 t \\ 36 \pi &= \pi \times 10^2 \times t \\ 36 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \times 100 \times t \\ 36 &= 100 t \\ t &= \frac{36}{100} \\ t &= 0,36 \: cm \end{align*}$

Jadi tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.

9. Sebuah bandul terdiri atas sebuah tabung dan setengah bola dengan jari-jari 6 cm seperti gambar di bawah.

Jika tinggi seluruhnya 15 cm dan $\pi = \frac{22}{7}$ . Hitunglah volume bandul tersebut

Tinggi kerucut = Tinggi seluruhnya – Jari-jari bola

$\begin{align*} t &= 15 \: cm - 6 \: cm \\ &= 9 \: cm \end{align*}$

Volume bandul = Volume kerucut + Volume setengah bola

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 t + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 9 + \frac{2}{3} \times \pi \times 6^3 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 6^2 \times \cancelto{3}{9} + \frac{2}{\cancel{3}} \times \pi \times \cancelto{72}{6^3} \\ &= \pi \times 36 \times 3 + 2 \times \pi \times 72 \\ &= 108 \pi + 144 \pi \\ &= 252 \pi \\ &= 252 \times \frac{22}{7} \\ &= 36 \times 22 \\ &= 792 \: cm^3 \end{align*}$

10. Gambar dibawah ini merupakan tabung dengan bagian atas dan bawah berupa setengah bola.

Jika diameter tabung 8,4 cm dan tinggi tabung 20 cm dan $\pi = \frac{22}{7}$ , tentukan luas permukaan tabung yang diarsir !

Luas tabung yang diarsir = Luas selimut tabung – 2 Luas setengah bola (tanpa tutup)

$\begin{align*} L &= \pi \: d \: t - 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 \\ &= \pi \times 8,4 \times 20 - 4 \times \pi \times (4,2)^2 \\ &= 168 \pi - 4 \times \pi \times 17,64 \\ &= 168 \pi - 70,56 \pi \\ &= 97,44 \pi \\ &= 97,44 \times \frac{22}{7} \\ &= 13,92 \times 22 \\ &= 306,24 \: cm^2 \end{align*}$

Contoh soal kongruen dengan jawabannya

1. Perhatikan gambar berikut ini

Soal Segitiga Kongruen dengan 2 sisi dan 1 sudut

a. Buktikan bahwa $\Delta ABC$ dan $\Delta EBF$ kongruen !

b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar !

Perhatikan $\Delta ABC$ dan $\Delta EBF$

$\begin{align*} AC &= EF \\ AB &= EB \\ \angle ABC &= \angle EBF (=90^{\circ}) \end{align*}$

Jadi $\Delta ABC$ dan $\Delta EBF$ kongruen (sisi, sisi, sudut).

Pasangan sudut yang sama besar adalah :

$\begin{align*} \angle ABC &= \angle EBF = 90^{\circ} \\ \angle CAB &= \angle FEB \\ \angle ACB &= \angle EFB \end{align*}$

2.Berikut ini adalah gambar dua segitiga

Soal Segitiga Kongruen dengan 2 sisi dan 1 sudut dengan sudut yang berbeda yang diketahui

Apakah kedua segitiga tersebut kongruen ? Buktikan !

Perhatikan $\Delta PQR$ dan $\Delta XYZ$

$\begin{align*} PQ &= YX \\ \angle Y &= 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} \\ &= 120^{\circ} \\ \angle P &= \angle Y \\ PR &= YZ \end{align*}$

Jadi, $\Delta PQR$ dan $\Delta XYZ$ kongruen karena mempunyai dua sisi yang sama, yaitu

dan

, serta 1 sudut yang sama yaitu $\angle P = \angle Y$ (sisi, sudut, sisi)

3.Lihatlah gambar di bawah ini !

Apakah kedua segitiga di atas kongruen ? Buktikan !

Lihat $\Delta MKL$ dan $\Delta TRS$

$\begin{align*} \angle K &= \angle R \\ \angle L &= \angle S \\ \angle M &= \angle T \\ KL &\neq RS \end{align*}$

Walaupun ketiga sudut kedua segitiga tersebut sama, tetapi tidak menjamin kedua segitiga tersebut kongruen. Oleh karena itu kita perlu memeriksa minimal 1 sisi yang bersesuaian, yaitu sisi KL dengan RS. Ternyata panjang $KL \neq RS$ sehingga bisa disimpulkan bahwa kedua segitiga tersebut TIDAK kongruen.

4.Coba perhatikan gambar di bawah ini !

Soal kongruen dua segitiga yang dijadikan satu bangun

$\angle BAD = \angle ABC$ dan

. Buktikan bahwa $\Delta DAB$ dan $\Delta CAB$ kongruen !

Pisahkan bangun diatas dan putar agar menjadi dua segitiga yang terlihat sebangun, yaitu $\Delta DAB$ dan $\Delta CBA$
Pemisahan bangun ABCD menjadi dua segitiga DAB dan CAB

Pemisahan bangun ABCD menjadi dua segitiga DAB dan CAB

Perhatikan $\Delta DAB$ dan $\Delta CBA$

$\begin{align*} DA &= CB \\ \angle DAB &= \angle CBA \\ AB &= BA (berhimpit) \end{align*}$

Jadi $\Delta DAB$ dan $\Delta CBA$ kongruen (sisi, sudut, sisi).

5.Perhatikan gambar berikut !

Buktikan bahwa $\Delta ADC$ dan $\Delta DBC$ kongruen !

Perhatikan $\Delta ADC$ dan $\Delta DBC$

$\begin{align*} AD &= DB \\ AC &= BC \\ DC &= DC \end{align*}$

Jadi kedua segitiga tersebut adalah kongruen karena ketiga sisinya sama panjang (sisi, sisi, sisi).

6.Periksa apakah $\Delta AEC$ dan $\Delta DEB$ dibawah ini kongruen !

Lihat $\Delta AEC$ dengan $\Delta DEB$

$\begin{align*} \angle A &= \angle D \\ AE &= DE \\ \angle AEC &= \angle DEB \text{ (bertolak belakang) } \end{align*}$

Jadi $\Delta AEC$ kongruen dengan $\Delta DEB$ (sudut, sisi, sudut)

7.Pada gambar berikut ini, panjang PR = 12 cm dan QR = 10 cm.

2 segitiga dengan kesamaan sisi dan sudut

a. Buktikan bahwa $\Delta ABC$ dan $\Delta PQR$ adalah kongruen !

b. Tentukan Panjang AC !

Cari $\angle P$ dahulu

$\begin{align*} \angle P &= 180^{\circ} - 65^{\circ} - 70^{\circ} \\ &= 45^{\circ} \end{align*}$

Setelah itu, putar $\Delta PQR$ agar sudutnya bersesuaian seperti gambar di bawah ini
segitiga ABC dan segitiga PQR yang telah diputar

$\begin{align*} \angle A &= \angle P \\ AB &= PQ \text{(diketahui)} \\ \angle B &= \angle Q \end{align*}$

Jadi $\Delta ABC$ kongruen dengan $\Delta PQR$ (sudut, sisi, sudut)

Panjang AC adalah sama dengan panjang PR, yaitu 12 cm.

8.Lihatlah gambar di bawah ini.

dua segitiga siku-siku yang digabung menjadi satu

Pada gambar di atas, QR = QS, PQ = QT. Buktikan bahwa :

a. $\Delta PQR$ dan $\Delta TQS$ kongruen !

b. $\Delta PSU$ dan $\Delta TRU$ kongruen !

c. Pisahkan $\Delta PQR$ dan $\Delta TQS$ seperti gambar di bawah
pemisahan segitiga PQR dan TQS

$\begin{align*} QR &= QS \text{ (diketahui)}\\ PQ &= QT \text{ (diketahui)} \\ \angle P &= \angle T \end{align*}$

Jadi, kedua segitiga tersebut kongruen (sisi, sisi, sudut).

d. Perhatikan potongan $\Delta PSU$ dan $\Delta TRU$ berikut:
segitiga PQR dan TQS yang masih menjadi satu

Perhatikan bahwa

$\begin{align*} &SP = QS - PQ \\ &RT = QR - QT \\ &\text{sedangkan} \\ &QR = QS \text{ (diketahui)}\\ &PQ = QT \text{ (diketahui)}\\ &\text{dapat disimpulkan bahwa } \\ &SP = RT \end{align*}$

Selanjutnya periksa sudut-sudutnya

$\begin{align*} \angle SUP &= \angle TUR \\ \angle UPS &= \angle RTU \\ \end{align*}$

Jadi, $\Delta PSU$ dan $\Delta TRU$ adalah kongruen (sisi, sudut, sudut)1. Perhatikan gambar berikut ini